Mathematische Grundlagen 2 / Sommersemester 2009 / Übung 8 / Aufgabe 1

Für einen Kommilitonen hier der Auszug aus Übung 8 / Aufgabe 1 (siehe Übung 8)

Bestimmen Sie die Stammfunktion folgender Funktionen (bei jeweils passendem Definitionsbereich):

a)
Aufgabe:
\frac{1+x^2}{x^3}

Lösung:
\frac{1+x^2}{x^3} = \frac{1}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x} = x^{-3} + x^{-1} = -\frac{1}{2} \cdot x^{-2} + \ln x + C

b)
Aufgabe:
\frac{x^3}{(1+x^2)}

Lösung:
Wir formen hier folgendermaßen um:
\frac{x (1+x^2)}{(1+x^2)} = \frac{x +x^3}{(1+x^2)} = \frac{x}{(1+x^2)} + \frac{x^3}{(1+x^2)} \Rightarrow \frac{x^3}{(1+x^2)} = \frac{x (1+x^2)}{(1+x^2)} - \frac{x}{(1+x^2)} = x - \frac{x}{(1+x^2)}

Nun lässt sich leichter rechnen und wir bekommen:
\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C = \frac{1}{2} (x^2 - \ln (1+x^2)) + C

c)
Aufgabe:
\int_{}^{}~\frac{\ln x}{x^2} ~dx = \int_{}^{}~ln (x) \cdot x^{-2} ~dx

Lösung:
Wir benutzen hier die Formel für die partielle Integration (siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration)
\int_{a}^{b}~f(x) \cdot g'(x) ~dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}~f'(x) \cdot g(x) ~dx

und wenden diese an
\int_{}^{}~\frac{\ln x}{x^2} ~dx = \int_{}^{}~ln (x) \cdot x^{-2} ~dx = \left[-\ln(x) \cdot x^{-1}\right]_{}^{} - \int_{}^{}~\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{-1} \cdot x^{-1} ~dx
= \left[-\frac{\ln(x)}{x}\right]_{}^{} + \int_{}^{}~\frac{1}{x^2}~dx = \left[- \frac{\ln(x)}{x} - x^{-1} + C\right]_{}^{} = \left[- \frac{\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} + C\right]_{}^{}
d)
Aufgabe:
\int_{}^{}~x \cdot \ln (x^2)~d

Lösung:
Wir lösen erneut mit partieller Integration
u (x) = \ln x^2 \Rightarrow u' (x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}
v' (x) = x \Rightarrow v(x) = \frac{1}{2} x^2

Dies ergibt dann:
\int_{}^{}~x \cdot \ln (x^2)~dx = \ln x^2 \cdot \frac{1}{2} x^2 - \int_{}^{}~\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} x^2 ~dx
= \ln x^2 \cdot \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x^2 + C = \frac{1}{2} x^2 (\ln x^2 -1) + C

2009
09/03
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Universität
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